수직인 두 평면 각

[출제의도] 직선과 평면이 이루는 각 이해하기

삼각형 $\mathrm{ABC}$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{29} \right) ^{2} - 6 ^{2}} = 4 \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{DAB}$가 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{BH}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = \sqrt{6 ^{2} - \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}} = 4$ 삼각형 $\mathrm{HBC}$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = \sqrt{6 ^{2} + \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{14}$ 두 평면 $\alpha$, $\beta$는 서로 수직이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 직선 $\mathrm{DH}$는 평면 $\alpha$와 수직이다. 그러므로 $\displaystyle \angle \mathrm{DHC} = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{DH}}} ^{2} + {\overline{CH}} ^{2}} = \sqrt{4 ^{2} + \left( 2 \sqrt{14} \right) ^{2}} = 6 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{D}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 점 $\mathrm{H}$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{\mathrm{CH}}}}{{\overline{\mathrm{CD}}}}$ 따라서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{2 \sqrt{14}}{6 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$