기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수직 평면과 삼각형 넓이

문제

좌표공간에서 수직으로 만나는 두 평면 α,β\alpha , \beta의 교선을 ll이라 하자. 평면 α\alpha 위의 직선 mm과 평면 β\beta 위의 직선 nn은 각각 직선 ll과 평행하다. 직선 mm 위의 AP‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = 4인 두 점 A,P\mathrm{A} , P에 대하여 점 P\mathrm{P}에서 직선 ll에 내린 수선의 발을 Q,\mathrm{Q} ,점 Q\mathrm{Q}에서 직선 nn에 내린 수선의 발을 B\mathrm{B}라 하자. PQ‾=3,QB‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 3 , {\overline{\mathrm{QB}}} = 4이고, 점 B\mathrm{B}가 아닌 직선 nn 위의 점 C\mathrm{C}에 대하여 AB‾=AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}일 때, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는? [3점]

①1818②2020③2222④2424⑤2626

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②

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해설

삼각형 PQB\mathrm{PQB}에서 ∠PQB=90∘\angle \mathrm{PQB} = 90 ^\circ이므로 PB‾=32+42=5\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5 삼수선의 정리에 의하여 PB‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 점 A\mathrm{A}에서 직선 nn에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 AH‾=PB‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{PB}}} = 5 한편, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}는 AB‾=AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}인 이등변삼각형이므로 점 H\mathrm{H}는 선분 BC\mathrm{BC}의 중점이다. 즉, BC‾=2BH‾=2PA‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 {\overline{\mathrm{BH}}} = 2 {\overline{\mathrm{PA}}} = 8 따라서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 12×BC‾×AH‾=12×8×5=20\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20

태그

#삼수선의 정리#두 평면의 수직

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