공통수학2직선의 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수직 평행 직선

문제

세 직선 $l : x - a y + 2 = 0$ $m : 4 x + b y + 2 = 0$ $n : x - ( b - 3 ) y - 2 = 0$ 에 대하여 두 직선 $l$ 과 $m$ 은 수직이고 두 직선 $l$ 과 $n$ 은 평행할 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ , $b$ 는 상수이다.) [3점]

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[출제의도] 두 직선의 평행과 수직 이해하기 직선 $l : x - a y + 2 = 0$ 과 직선 $m : 4 x + b y + 2 = 0$ 이 수직이므로 $4 - a b = 0$ $\therefore$ $a b = 4$ 직선 $l : x - a y + 2 = 0$ 과 직선 $n : x - ( b - 3 ) y - 2 = 0$ 이 평행하므로 $\displaystyle \frac{1}{1} = \frac{- a}{- b + 3} \ne \frac{2}{- 2}$ $\therefore$ $a - b = - 3$ $a ^{2} + b ^{2} = ( a - b ) ^{2} + 2 a b = ( - 3 ) ^{2} + 2 \times 4 = 1 7$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 1 7$

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