수직 직선과 무게중심

[출제의도] 두 직선의 수직 조건과 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 주어진 값을 구한다. 직선 $\mathrm{AP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 2}{4 - 0} = \frac{1}{2}$, 직선 $\mathrm{BP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 2}{4 - n} = \frac{2}{4 - n}$ 이고 직선 $\mathrm{AP}$와 직선 $\mathrm{BP}$가 서로 수직이므로 기울기의 곱은 $- 1$이다. 즉, $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{2}{4 - n} = \mathit{-} 1$에서 $n = 5$ 세 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 0 , 2 )$, $\mathrm{B} \mathit{(} 5 , 2 )$, $\mathrm{P} \mathit{(} 4 , 4 )$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{0 + 5 + 4}{3} , \frac{2 + 2 + 4}{3} \right)$이므로 $\displaystyle \left( 3 , \frac{8}{3} \right)$이다. 따라서 $a = 3$, $\displaystyle b = \frac{8}{3}$이므로 $\displaystyle a + b = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$