수학적 귀납법 빈칸

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{2} \left\{ \frac{1}{k ( 2 k + 1 )} + \frac{1}{( k + 1 ) ( 2 k + 3 )} + \frac{1}{( k + 2 ) ( 2 k + 5 )} + \cdots \right.$ $\displaystyle + \frac{1}{n ( 2 n + 1 )} \} = \frac{n ( n + 3 )}{12}$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n = 1$일 때 (좌변)$\displaystyle = \frac{1}{3}$, (우변)$\displaystyle = \frac{1}{3}$이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) $n = m$일 때 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{2} \left\{ \frac{1}{k ( 2 k + 1 )} + \frac{1}{( k + 1 ) ( 2 k + 3 )} + \frac{1}{( k + 2 ) ( 2 k + 5 )} + \cdots \right.$ $\displaystyle + \frac{1}{m ( 2 m + 1 )} \} = \frac{m ( m + 3 )}{12}$ 이제, $n = m + 1$일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k ^{2} \left\{ \frac{1}{k ( 2 k + 1 )} + \frac{1}{( k + 1 ) ( 2 k + 3 )} + \frac{1}{( k + 2 ) ( 2 k + 5 )} + \cdots \right.$ $\displaystyle + \frac{1}{( m + 1 ) ( 2 m + 3 )} \}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{2} \left\{ \frac{1}{k ( 2 k + 1 )} + \frac{1}{( k + 1 ) ( 2 k + 3 )} + \frac{1}{( k + 2 ) ( 2 k + 5 )} + \cdots \right.$ $\displaystyle + \frac{1}{( m + 1 ) ( 2 m + 3 )} \} + \frac{( \text{가} )}{2 m + 3}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{2} \left\{ \frac{1}{k ( 2 k + 1 )} + \frac{1}{( k + 1 ) ( 2 k + 3 )} + \frac{1}{( k + 2 ) ( 2 k + 5 )} + \cdots \right.$ $\displaystyle + \left. \frac{1}{( \text{나} )} \right\} + \frac{1}{( m + 1 ) ( 2 m + 3 )} \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{2} + \frac{( \text{가} )}{2 m + 3}$ $\displaystyle = \frac{m ( m + 3 )}{12} +$$\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ( 2 m + 3 )} \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} ( \text{다} )$ $\displaystyle = \frac{( m + 1 ) ( m + 4 )}{12}$ 그러므로 $n = m + 1$일 때도 성립한다. 따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$m$ $( m + 1 ) ( 2 m + 3 )$ $( k - 1 ) ^{2}$②$m$ $m ( 2 m + 1 )$ $( k - 1 ) ^{2}$③$m + 1$ $m ( 2 m + 1 )$ $( k - 1 ) ^{2}$④$m + 1$ $( m + 1 ) ( 2 m + 3 )$ $k ^{2}$⑤$m + 1$ $m ( 2 m + 1 )$ $k ^{2}$