대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수 끼워 넣기 수열

문제

다음은 제11행에 두 개의 11을 나열하고, 제 n+1n + 1행에는 제 nn행의 수를 나열한 뒤 그 각각의 수 사이에 양쪽 두 수의 합을 추가하여 나열한 것이다. 예를 들면, 제 33행은 제 22행의 11과 22 사이에 1+2=31 + 2 = 3을, 22와 11 사이에 2+1=32 + 1 = 3을 추가하여 나열한 것이다. 이때, 제77행의 3131번째에 나타나는 수는? [3점]

①99②1010③1111④1212⑤1313

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①

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해설

각 행의 항의 수가 1, 2, 4, 8, 16, …, 2n−12 ^{n-1}씩 증가하는 계차수열이므로 (제 7행의 항의 수)=2+∑k=162k−1\displaystyle 2 + \sum\limits _{k=1} ^{6} 2 ^{k-1} (∵ (첫째항)=2) =2+1⋅(26−1)2−1=65\displaystyle 2 + \frac{1 \cdot ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} = 65 이 때, 제 7행의 2의 위치는 정가운데 나타나므로 33번째 나타난다. 따라서, 다음과 같이 제 7행의 31번째에 나타나는 수는 9이다. (제11행) 1 1 (제22행) 1 2 1 (제33행) 1 3 2 3 1 (제44행) 1 4 3 5 2 5 3 4 1 (제55행) ⋯ 5 7 2 7 5 ⋯ (제66행) ⋯ 7 9 2 9 7 ⋯ (제77행) ⋯ 9 11 2 11 9 ⋯

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