대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수 배열 규칙 합

문제

그림과 같이 $m$ 행 $n$ 열의 수를 $N ( m , n )$ 이라 하고 다음 규칙에 따라 사각형 안에 수를 적는다.

(가) 모든 자연수 $m , n$ 에 대하여 $N ( m , 1 ) = m$ 이고, $N ( 1 , n ) = n$ 이다. (나) 1보다 큰 자연수 $m , n$ 에 대하여 $N ( m , n ) = N ( m , n - 1 ) + N ( m - 1 , n )$ 이다.

	$1$ 열	$2$ 열	$3$ 열	$4$ 열	$5$ 열	$\cdots$
$1$ 행	$1$	2	3	4	5	$\cdots$
$2$ 행	2	4	7	11	16	$\cdots$
$3$ 행	3	7	14	25	41	$\cdots$
$4$ 행	4	11	25	50	91	$\cdots$
$5$ 행	5	16	41	91	182	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

자연수 $k$ 에 대하여 $a _{k} = N \left( 1 , k \right) + N \left( 2 , k - 1 \right) + \cdots + N \left( k , 1 \right)$ 이라 하자. 예를 들면 $a _{1} = 1 ,$ $a _{3} = 3 + 4 + 3 = 10$ 이다. $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{20}$ 의 값은? [4점] ① $3 \cdot 2 ^{20} - 42$ ② $3 \cdot 2 ^{20} - 43$ ③ $3 \cdot 2 ^{21} - 41$ ④ $3 \cdot 2 ^{21} - 42$ ⑤ $3 \cdot 2 ^{21} - 43$

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②

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[출제의도] 여러 가지 수열의 규칙성 추론하기

	$1$ 열	$2$ 열	$3$ 열	$4$ 열	$5$ 열	$\cdots$
$1$ 행	$1$	2	3	4	5	$\cdots$
$2$ 행	2	4	7	11	16	$\cdots$
$3$ 행	3	7	14	25	41	$\cdots$
$4$ 행	4	11	25	50	91	$\cdots$
$5$ 행	5	16	41	91	182	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

$a _{1} = 1$ $a _{2} = 2 + 2 = 4$ $a _{3} = 3 + 4 + 3 = 10$ $a _{4} = 4 + 7 + 7 + 4 = 22$ $\vdots$ 그러므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 다음의 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$ 을 계차수열로 가진다. $\left\{ b _{n} \right\} : 3 , 6 , 12 , \cdots$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$ 은 첫째항이 $3$ 이고 공비가 $2$ 인 등비수열이므로 $b _{n} = 3 \bullet 2 ^{n - 1}$ 이다. $\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 3 \bullet 2 ^{k - 1}$ $\displaystyle = 1 + 3 \bullet \frac{2 ^{n - 1} - 1}{2 - 1}$ $= 3 \bullet 2 ^{n - 1} - 2$ 따라서 $a _{n}$ $= 3 \bullet 2 ^{n - 1} - 2$ 이다. 그러므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{20}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{20} ( 3 \bullet 2 ^{k - 1} - 2 )$ $\displaystyle = 3 \bullet \frac{2 ^{20} - 1}{2 - 1} - 40$ $= 3 \bullet 2 ^{20} - 43$ 이다.

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