쌍곡선의 평행한 접선

[출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식을 활용하여 문제해결하기 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{10} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}}$$= 1$의 주축의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}$$= k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}}$$\displaystyle = k - 2 \sqrt{10}$ 삼각형 $\mathrm{F}' F P$의 넓이가 $15$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times k \times ( k - 2 \sqrt{10} )$$= 15$ $\displaystyle k ^{2} - 2 \sqrt{10} k - 30$$\displaystyle = ( k - 3 \sqrt{10} ) ( k + \sqrt{10} )$$= 0$ $k$$\displaystyle = 3 \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{10}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}}$$\displaystyle = \sqrt{10}$ 직각삼각형 $\mathrm{F}' F P$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}} ^{2}$$\displaystyle = ( \sqrt{10} ) ^{2} + ( 3 \sqrt{10} ) ^{2}$$= 100$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}}$$= 2 c$$= 10$, $c$$= 5$ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{10} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}}$$= 1$에서 $10 + a ^{2}$$= c ^{2}$$= 25$이므로 $a ^{2}$$= 15$

점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{F}' FP$와 삼각형 $\mathrm{F}' PH$는 서로 닮음이므로 직선 $\mathrm{PF}'$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PH}}}{\mathrm{\overline{F' H}}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{{\overline{PF}}}{\mathrm{\overline{PF'}}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10}}$$= 3$ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{10} - \frac{y ^{2}}{15}$$= 1$에 접하고 기울기가 $3$인 직선의 방정식은 $y$$\displaystyle = 3 x \pm \sqrt{10 \times 3 ^{2} - 15}$$\displaystyle = 3 x \pm 5 \sqrt{3}$이므로 $l _{1}$$:$$y$$\displaystyle = 3 x + 5 \sqrt{3}$, $l _{2}$$:$$y$$\displaystyle = 3 x - 5 \sqrt{3}$ 에서 두 점 $\mathrm{Q} _{1}$, $\mathrm{Q} _{2}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{Q} _{1} \left( - \frac{5 \sqrt{3}}{3} , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} _{2} \left( \frac{5 \sqrt{3}}{3} , 0 \right)$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{Q _{1} Q _{2}}}$$\displaystyle = \frac{10}{3} \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{q}{p} \sqrt{3}$에서 $p$$= 3$, $q$$= 10$이므로 $p + q$$= 3 + 10$$= 13$