기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선의 정의

문제

그림과 같이 두 초점이 F(0,c)\mathrm{F} ( \mathit{0} , c ), F′(0,−c)\mathrm{F}' \mathit{(} 0 , - c )(c>0)( c > 0 )인 쌍곡선 x212−y24=−1\displaystyle \frac{x ^{2}}{12} - \frac{y ^{2}}{4} = \mathit{-} 1이 있다. 쌍곡선 위의 제11사분면에 있는 점 P\mathrm{P}와 쌍곡선 위의 제33사분면에 있는 점 Q\mathrm{Q}가 PF′‾−QF′‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{QF}'} = 5, PF‾=23QF‾\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{QF}} 를 만족시킬 때, PF‾+QF‾\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{QF}}의 값은? [3점]

①1010②353\displaystyle \frac{35}{3}③403\displaystyle \frac{40}{3}④1515⑤503\displaystyle \frac{50}{3}

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④

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해하여 선분의 길이를 구한다.

쌍곡선 x212−y24=−1\displaystyle \frac{x ^{2}}{12} - \frac{y ^{2}}{4} = \mathit{-} 1의 주축의 길이는 44이므로 PF′‾−PF‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{PF}} = 4 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ QF‾−QF′‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{QF}} - \overline{\mathrm{QF}'} = 4 ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 (PF′‾−PF‾)+(QF‾−QF′‾)=8\displaystyle \left( {\overline{\mathrm{PF}'}} - {\overline{\mathrm{PF}}} \right) + \left( {\overline{\mathrm{QF}}} - {\overline{\mathrm{QF}'}} \right) = 8 (PF′‾−QF′‾)+(QF‾−PF‾)=8\displaystyle \left( {\overline{\mathrm{PF}'}} - {\overline{\mathrm{QF}'}} \right) + \left( {\overline{\mathrm{QF}}} - {\overline{\mathrm{PF}}} \right) = 8 5+(QF‾−PF‾)=8\displaystyle 5 + \left( {\overline{\mathrm{QF}}} - {\overline{\mathrm{PF}}} \right) = 8 QF‾−PF‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} - {\overline{\mathrm{PF}}} = 3 PF‾=23QF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = \frac{2}{3} {\overline{\mathrm{QF}}}이므로 QF‾−23QF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} - \frac{2}{3} {\overline{\mathrm{QF}}}=13QF‾\displaystyle = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{QF}}=3= 3 QF‾=9\displaystyle \overline{\mathrm{QF}} = 9, PF‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = 6이므로 PF‾+QF‾=15\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{QF}}} = 15

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