기하이차곡선수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

쌍곡선과 타원의 장축

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0){\mathrm{F}} \left( c , 0 \right), F′(−c,0)(c>0){\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)을 초점으로 하는 쌍곡선 x2a2−y22a2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{2 a ^{2}} = 1이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 xx좌표가 음수인 점을 A{\mathrm{A}}라 하고, 점 F′{\mathrm{F}}'을 지나고 xx축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제22사분면에 있는 점을 P{\mathrm{P}}라 하자. 점 A{\mathrm{A}}에서 선분 PF{\mathrm{PF}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하자. 두 점 A{\mathrm{A}}, F{\mathrm{F}}를 초점으로 하고 점 H{\mathrm{H}}를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제44사분면에 있는 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. AQ‾+F′Q‾=6+83\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = 6 + 8 \sqrt{3}일 때, 이 타원의 장축의 길이는 p+q3\displaystyle p + q \sqrt{3}이다. p2+q2p ^{2} + q ^{2}의 값을 구하시오. (단, aa는 양수이고, pp와 qq는 유리수이다.) [4점]

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52

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해설

쌍곡선의 방정식 x2a2−y22a2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{2 a ^{2}} = 1에서 c2=a2+2a2=3a2c ^{2} = a ^{2} + 2 a ^{2} = 3 a ^{2}, c=3a\displaystyle c = \sqrt{3} a x2a2−y22a2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{2 a ^{2}} = 1에서 x=−3a\displaystyle x = - \sqrt{3} a일 때 y=±2ay = \pm 2 a 그러므로 F′P‾=2a\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = 2 a 점 P{\mathrm{P}}가 쌍곡선 위의 점이고 쌍곡선의 주축의 길이가 2a2 a이므로 FP‾−F′P‾=2a\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} - {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = 2 a, FP‾=4a\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = 4 a 직각삼각형 PF′F{\mathrm{PF}}' {\mathrm{F}}에서 sin⁡(∠F′FP)=F′P‾FP‾=12\displaystyle \sin \left( \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{FP}} \right) = \frac{{\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}}}{{\overline{\mathrm{FP}}}} = \frac{1}{2}이므로 ∠F′FP=π6\displaystyle \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{FP}} = \frac{\pi}{6} FA‾=c+a=(3+1)a\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = c + a = \left( \sqrt{3} + 1 \right) a AH‾=FA‾×sin⁡(∠AFH)=(3+1)a2\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{FA}}} \times \sin \left( \angle {\mathrm{AFH}} \right) = \frac{\left( \sqrt{3} + 1 \right) a}{2} FH‾=FA‾×cos⁡(∠AFH)=(3+3)a2\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = {\overline{\mathrm{FA}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{AFH}} \right) = \frac{\left( 3 + \sqrt{3} \right) a}{2} 점 H{\mathrm{H}}와 점 Q{\mathrm{Q}}는 타원 위의 점이므로 AQ‾+FQ‾=AH‾+FH‾=(2+3)a\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} = {\overline{\mathrm{AH}}} + {\overline{\mathrm{FH}}} = \left( 2 + \sqrt{3} \right) a 점 Q{\mathrm{Q}}는 쌍곡선 위의 점이므로 F′Q‾−FQ‾=2a\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} - {\overline{\mathrm{FQ}}} = 2 a AQ‾+F′Q‾=(AQ‾+FQ‾)+(F′Q‾−FQ‾)=(4+3)a\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = \left( {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} \right) + \left( {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} - {\overline{\mathrm{FQ}}} \right) = \left( 4 + \sqrt{3} \right) a (4+3)a=6+83\displaystyle \left( 4 + \sqrt{3} \right) a = 6 + 8 \sqrt{3}이므로 a=23\displaystyle a = 2 \sqrt{3} 타원의 장축의 길이는 (2+3)a=6+43\displaystyle \left( 2 + \sqrt{3} \right) a = 6 + 4 \sqrt{3}이므로 p=6p = 6, q=4q = 4 따라서 p2+q2=36+16=52p ^{2} + q ^{2} = 36 + 16 = 52

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#쌍곡선의 정의#타원의 정의

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