쌍곡선과 삼각형 넓이

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다. 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$의 두 초점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$의 좌표를 각각 $\left( c , 0 \right)$, $\left( - c , 0 \right)$$\left( c > 0 \right)$이라 하면 $c ^{2} = 9 + 16 = 25$ 에서 $c = 5$이므로 $\mathrm{F} \left( 5 , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \left( - 5 , 0 \right)$ 쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} - {\overline{AF}} = 6$ 　 $\cdots \cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{AF}' F$의 둘레의 길이가 $24$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} + {\overline{AF'}} + {\overline{FF'}} = 24$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = 10$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} + {\overline{AF'}} = 14$　　$\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 4$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = 10$이므로 삼각형 $\mathrm{AF}' F$는 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{AF}' F$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{10 ^{2} - 2 ^{2}} = 8 \sqrt{6}$