기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선과 삼각형 둘레

문제

그림과 같이 두 초점이 F(c,0){\mathrm{F}} \mathit{\left( c , 0 \right)}, F′(−c,0)(c>0)\mathrm{F} \mathit{'} \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)이고 주축의 길이가 22인 쌍곡선 CC가 있다. 쌍곡선 CC 위에 있는 제11사분면 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 선분 F′P{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}}가 쌍곡선 CC와 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하고, 선분 FQ{\mathrm{FQ}}가 쌍곡선 CC와 만나는 점 중 Q{\mathrm{Q}}가 아닌 점을 R{\mathrm{R}}라 하자. PQ‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 4이고 삼각형 F′RQ{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{RQ}}의 둘레의 길이가 1616일 때, 삼각형 FPQ{\mathrm{FPQ}}의 둘레의 길이는? [3점]

①1818②2020③2222④2424⑤2626

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②

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해설

F′Q‾=a\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{Q}}}} = a라 하자. 점 Q{\mathrm{Q}}는 주축의 길이가 22인 쌍곡선 위의 점이므로 FQ‾=F′Q‾+2=a+2\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} \mathit{=} {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} + 2 = a + 2 PQ‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 4이므로 F′P‾=a+4\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = a + 4 두 점 P{\mathrm{P}}, R{\mathrm{R}}는 쌍곡선 위의 점이므로 FP‾=F′P‾−2=a+2\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} \mathit{=} {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} - 2 = a + 2, F′R‾=FR‾+2\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{R}}} = {\overline{\mathrm{FR}}} \mathit{+} 2 삼각형 F′RQ\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{RQ}의 둘레의 길이가 1616이므로 F′R‾+QR‾+F′Q‾\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{R}}} + {\overline{\mathrm{QR}}} \mathit{+} {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}}=(FR‾+2)+(FQ‾−FR‾)+a\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{FR}}} + 2 \right) + \left( {\overline{\mathrm{FQ}}} - {\overline{\mathrm{FR}}} \right) + a=2a+4=16= 2 a + 4 = 16 즉 a=6a = 6 따라서 삼각형 FPQ{\mathrm{FPQ}}의 둘레의 길이는 FP‾+PQ‾+FQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}}=(a+2)+4+(a+2)= \left( a + 2 \right) + 4 + \left( a + 2 \right)=2a+8= 2 a + 8=20= 20

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