쌍곡선과 포물선

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 의 초점의 좌표가 $\left( \pm 4 , 0 \right)$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 16$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 포물선의 초점이 $\mathrm{F} \left( 4 , 0 \right)$이고 $x = 0$이 준선이므로 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 8 \left( x - 2 \right)$ 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \overline{PH}$이고, 선분 $\mathrm{PH}$는 선분 $\mathrm{OF}$와 평행하므로 $\mathrm{\angle} PHF = \theta$라 하면

$\mathrm{\angle} PHF = \angle PFH = \angle HFO = \theta$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} : \overline{HF} = 3 : 2 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} \mathit{=} 3 k$ (단, $k$는 상수)라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{HF}} = 2 \sqrt{2} \mathit{k}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}} \times \cos \theta$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} k \times \frac{\sqrt{2}}{3}$$\displaystyle = \frac{4 k}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OF}} = 4$에서 $\displaystyle \frac{4 k}{3} = 4$ $\therefore$ $k = 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} k$$\displaystyle = 6 \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \overline{PF}$$= 3 k$$= 9$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}} \times \sin \theta$$\displaystyle = 6 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{7}}{3}$$\displaystyle = 2 \sqrt{14}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( 9 , 2 \sqrt{14} \right)}$이고 $\mathrm{F}' \left( - 4 , 0 \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \sqrt{13 ^{2} + \left( 2 \sqrt{14} \right) ^{2}} = 15$ 쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF} = \mathit{2} a$ 이므로 $2 a = 15 - 9$, $a = 3$ ㉡에 대입하면 $b ^{2} = 7$ $\therefore$ $a ^{2} b ^{2} = 63$