기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선과 정삼각형

문제

두 초점이 F(33,0)\displaystyle \mathrm{F} \left( 3 \sqrt{3} , 0 \right), F′(−33,0)\displaystyle \mathrm{F}' \left( \mathit{-} 3 \sqrt{3} , 0 \right)인 쌍곡선 위의 점 중 제11사분면에 있는 점 P\mathrm{P}에 대하여 직선 PF′\mathrm{PF}'이 yy축과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 삼각형 PQF\mathrm{PQF}가 정삼각형일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? [3점] ①66②77③88④99⑤1010

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①

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 정의 이해하기 점 Q\mathrm{Q}가 yy축 위의 점이므로 삼각형 QF′F\mathrm{QF}' F는 이등변삼각형이다. 삼각형 PQF\mathrm{PQF}가 정삼각형이므로 ∠F′PF=∠PFQ=π3\displaystyle \mathrm{\angle} F' PF = \angle PFQ = \frac{\pi}{3} ∠FF′Q=∠QFF′=θ\mathrm{\angle} FF' Q = \mathrm{\angle} QFF' = \theta라 하면 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F의 세 내각의 합은 π\pi이므로 θ+(θ+π3)+π3=π\displaystyle \theta + \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{3} = \pi에서 θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6} 그러므로 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F는 ∠FF′P=π6\displaystyle \mathrm{\angle} FF' P = \frac{\pi}{6}, ∠PFF′=π2\displaystyle \mathrm{\angle} P FF' = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형이다. F′F‾=63\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}} = 6 \sqrt{3}이므로 PF‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 6, PF′‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = 12 따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 PF′‾−PF‾=12−6=6\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{PF}'}} - {\overline{PF}} = 12 - 6 = 6

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#쌍곡선의 정의#정삼각형

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