기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선과 각의 이등분선

문제

두 초점이 F{\mathrm{F}}, F′\mathrm{F} \mathit{'}인 쌍곡선 x27−y29=−1\displaystyle \frac{x ^{2}}{7} - \frac{y ^{2}}{9} = - 1 위의 점 중 제1\mathrm{1}사분면에 있는 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 각 FPF′\mathrm{FPF} \mathit{'}의 이등분선이 점 (0,1)\left( 0 , 1 \right)을 지날 때, FP‾+F′P‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} + {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}}의 값은? [3점] ①24\mathrm{24}②28\mathrm{28}③32\mathrm{32}④36\mathrm{36}⑤40\mathrm{40}

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①

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해설

쌍곡선 x27−y29=−1\displaystyle \frac{x ^{2}}{7} - \frac{y ^{2}}{9} = - 1의 두 초점의 좌표를 F(0,c)\mathrm{F} \mathit{\left( 0 , c \right)}, F′(0,−c)(c>0)\mathrm{F} \mathit{'} \left( 0 , - c \right) \left( c > 0 \right)이라 하면 c2=7+9=16c ^{2} = 7 + 9 = 16에서 c=4c = 4 점 (0,1)\left( 0 , 1 \right)을 A{\mathrm{A}}라 하면 FA‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = 3, F′A‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{A}}} = 5 각의 이등분선의 성질에 의하여 FP‾:F′P‾=3:5\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} : {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = 3 : 5 FP‾=3l\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = 3 l, F′P‾=5l(l>0)\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = 5 l \left( l > 0 \right)이라 하면, 쌍곡선의 주축의 길이가 6\mathrm{6}이므로 F′P‾−FP‾=5l−3l=2l=6\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} - {\overline{\mathrm{FP}}} = 5 l - 3 l = 2 l = 6, l=3l = 3 FP‾+F′P‾=8l=8×3=24\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} + {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = 8 l = 8 \times 3 = 24

태그

#쌍곡선의 정의#각의 이등분선

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