기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선 위의 점이 만드는 조건

문제

양수 cc에 대하여 두 점 F(c,0){\mathrm{F}} \mathit{(} c , 0 ), F′(−c,0){\mathrm{F}} \mathit{'} ( - c , 0 )을 초점으로 하고, 주축의 길이가 6\mathrm{6}인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}가 존재하도록 하는 모든 cc의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) 점 P{\mathrm{P}}는 제1\mathrm{1}사분면 위에 있고, 점 Q{\mathrm{Q}}는 직선 PF′{\mathrm{PF}} \mathit{'} 위에 있다. (나) 삼각형 PF′F{\mathrm{PF}} \mathit{'} {\mathrm{F}}는 이등변삼각형이다. (다) 삼각형 PQF{\mathrm{PQF}}의 둘레의 길이는 28\mathrm{28}이다.

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해설

조건 (나)에서 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F는 이등변삼각형이므로 (ⅰ) FF′‾=PF′‾\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = {\overline{PF'}}일 때,

QF′‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{QF'}} = \mathit{a}, PQ‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{b}라 하면 QF‾=a+6\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = \mathit{a} + 6, PF‾=a+b−6\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{a} + b - 6 삼각형 PQF\mathrm{PQF}의 둘레의 길이가 2828이므로 b+(a+b−6)+a+6=28b + \left( a + b - 6 \right) + a + 6 = 28, a+b=14a + b = 14 FF′‾=PF′‾\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = {\overline{PF'}}이므로 2c=142 c = 14에서 c=7c = 7 (ⅱ) FF′‾=PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = {\overline{PF}}일 때,

QF′‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{QF'}} = \mathit{a}, PQ‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{b}라 하면 QF‾=a+6\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = \mathit{a} + 6, PF‾=a+b−6\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{a} + b - 6 삼각형 PQF\mathrm{PQF}의 둘레의 길이가 2828이므로 b+(a+b−6)+a+6=28b + \left( a + b - 6 \right) + a + 6 = 28, a+b=14a + b = 14 FF′‾=PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = {\overline{PF}}이므로 FF‾′=PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{FF}}' = \overline{PF}=14−6=8= 14 - 6 = 8 2c=82 c = 8에서 c=4c = 4 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 cc의 값의 합은 7+4=117 + 4 = 11

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#쌍곡선의 정의

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