쌍곡선 주축의 길이

$\displaystyle \overline{\mathrm{F}' Q} \mathit{=} \sqrt{\left( 0 - \left( - c \right) \right) ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{c ^{2} + 4}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}} \mathit{=} \sqrt{c ^{2} + 4}$ 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{R}$에서 선분 $\mathrm{QP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{A}$, 원점 $\mathrm{O}$에서 선분 ${\mathrm{F}' Q}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$라 하면 평행한 두 직선 $\mathrm{OR}$과 $\mathrm{F}' P$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{RA}} = \overline{\mathrm{OB}} \mathit{=} d$ ($d$는 상수) 라 할 수 있다.

삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 $3$이므로 $\triangle$$\mathrm{PQR}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{QP}} \times \mathit{d}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{c ^{2} + 4} \times d = 3$ $\therefore$ $\displaystyle \sqrt{c ^{2} + 4} \times d = 6$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{OQF}'$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{F}' Q} \times \mathit{d} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OF}'} \times 2$ $\displaystyle \sqrt{c ^{2} + 4} \times d = 2 c$ ㉠에서 $2 c = 6$이므로 $c = 3$ 두 점 $\mathrm{F}' \left( - 3 , 0 \right)$, $\mathrm{Q} \left( 0 , 2 \right)$에 대하여 선분 $\mathrm{F}' P$의 중점이 점 $\mathrm{Q}$이므로 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{p} _{1} , p _{2} \right)$라 하면 $\displaystyle \frac{- 3 + p _{1}}{2} = 0$, $\displaystyle \frac{0 + p _{2}}{2} = 2$ 즉 $p _{1} = 3$, $p _{2} = 4$이므로 점 $\mathrm{P} \left( 3 , 4 \right)$이다. 또한 $\mathrm{F} \left( 3 , 0 \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}'} = \sqrt{\left( - 3 - 3 \right) ^{2} + \left( 0 - 4 \right) ^{2}} = 2 \sqrt{13}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = \sqrt{\left( 3 - 3 \right) ^{2} + \left( 0 - 4 \right) ^{2}} = 4$ 이때 주축의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}$이므로 $\displaystyle p + q \sqrt{13} = 2 \sqrt{13} - 4$ $p$, $q$는 유리수이므로 $p = - 4$, $q = 2$ $\therefore$ $p ^{2} + q ^{2} = \left( - 4 \right) ^{2} + 2 ^{2} = 20$ [다른 풀이] $\displaystyle \overline{\mathrm{F}' Q} \mathit{=} \sqrt{\left( 0 - \left( - c \right) \right) ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{c ^{2} + 4}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}} \mathit{=} \sqrt{c ^{2} + 4}$ 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{R}$에서 선분 $\mathrm{QP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{A}$, 원점 $\mathrm{O}$에서 선분 ${\mathrm{F}' Q}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$라 하면 평행한 두 직선 $\mathrm{OR}$과 $\mathrm{F}' P$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{RA}} = \overline{\mathrm{OB}} \mathit{=} d$ ($d$는 상수) 라 할 수 있다.

삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 $3$이므로 $\triangle$$\mathrm{PQR}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{QP}} \times \mathit{d}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{c ^{2} + 4} \times d = 3$ $\therefore$ $\displaystyle \sqrt{c ^{2} + 4} \times d = 6$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{OQF}'$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{F}' Q} \times \mathit{d} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OF}'} \times 2$ $\displaystyle \sqrt{c ^{2} + 4} \times d = 2 c$ ㉠에서 $2 c = 6$이므로 $c = 3$ 두 점 $\mathrm{F}' \left( - 3 , 0 \right)$, $\mathrm{Q} \left( 0 , 2 \right)$에 대하여 선분 $\mathrm{F}' P$의 중점이 점 $\mathrm{Q}$이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{p} _{1} , p _{2} \right)$라 하면 $\displaystyle \frac{- 3 + p _{1}}{2} = 0$, $\displaystyle \frac{0 + p _{2}}{2} = 2$ 즉 $p _{1} = 3$, $p _{2} = 4$이므로 점 $\mathrm{P} \left( 3 , 4 \right)$이다. 이때 $x$축 위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{9 - a ^{2}} = 1$ ($a$는 $a ^{2} < 9$인 양수)라 하면 점 $\mathrm{P}$가 곡선 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{9}{a ^{2}} - \frac{16}{9 - a ^{2}} = 1$, $9 \left( 9 - a ^{2} \right) - 16 a ^{2} = a ^{2} \left( 9 - a ^{2} \right)$ $a ^{4} - 34 a ^{2} + 81 = 0$, $\displaystyle a ^{2} = 17 \pm \sqrt{17 ^{2} - 81}$, $a ^{2} < 9$이므로 $\displaystyle a ^{2} = 17 - \sqrt{208}$ $\displaystyle a ^{2} = 17 - 2 \sqrt{4 \times 13}$에서 $\displaystyle a ^{2} = {\sqrt{13}} ^{2} + 2 ^{2} - 2 \times 2 \times \sqrt{13} = \left( \sqrt{13} - 2 \right) ^{2}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \sqrt{13} - 2$ 쌍곡선의 주축의 길이는 $\displaystyle 2 a = 2 \sqrt{13} - 4$이므로 $p = - 4$, $q = 2$ $\therefore$ $p ^{2} + q ^{2} = \left( - 4 \right) ^{2} + 2 ^{2} = 20$ [다른 풀이] $\mathrm{F}' \left( - \mathit{c} , 0 \right)$, $\mathrm{Q} \left( 0 , 2 \right)$이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathrm{P} \left( \mathit{c} , 4 \right)$ 점 $\mathrm{R}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{PQ}$와 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{RH}} = 2$이므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times c = 3$, $c = 3$ 따라서 $\mathrm{P} \left( 3 , 4 \right)$, $\mathrm{F} \left( 3 , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \left( - 3 , 0 \right)$이고, 주축의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF}$$\displaystyle = \sqrt{36 + 16} - 4$$\displaystyle = - 4 + 2 \sqrt{13}$ 따라서 $p = - 4$, $q = 2$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 16 + 4 = 20$