기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선 초점과 수선

문제

쌍곡선 x242−y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4 ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1의 한 초점 F(c,0)(c>0){\mathrm{F}} \left( c , 0 \right) \left( c > 0 \right)을 지나고 yy축에 평행한 직선이 쌍곡선과 제11사분면에서 만나는 점을 P{\mathrm{P}}라 하자. PF‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 5일 때, b2b ^{2}의 값은? (단, bb는 양수이다.) [3점] ①1616②1818③2020④2222⑤2424

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③

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해설

다른 한 초점을 F′(−c,0){\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right)이라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여 PF′‾−PF‾=8\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} - {\overline{\mathrm{PF}}} = 8 PF′‾=PF‾+8=5+8=13\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = {\overline{\mathrm{PF}}} + 8 = 5 + 8 = 13 삼각형 PFF′{\mathrm{PFF}}'은 직각삼각형이므로 FF′‾=132−52=12\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}}'}} = \sqrt{13 ^{2} - 5 ^{2}} = 12 2c=122 c = 12, c=6c = 6 따라서 b2=62−42=20b ^{2} = 6 ^{2} - 4 ^{2} = 20

태그

#쌍곡선의 정의#초점

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