기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선 초점 거리

문제

그림과 같이 두 초점이 F(c,0){\mathrm{F}} \mathit{(} c , 0 ), F′(−c,0)(c>0)\mathrm{F} \mathit{'} \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)인 쌍곡선 x2a2−y216=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{16} = 1 위의 점 중 제1\mathrm{1}사분면에 있는 점을 P{\mathrm{P}}라 하고, 이 쌍곡선과 직선 PF′{\mathrm{PF}} \mathit{'}이 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. PF‾=QF‾\displaystyle \overline{{\mathrm{PF}}} = \overline{{\mathrm{QF}}}이고 PQ‾=8\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} = 8일 때, 선분 FF′{\mathrm{FF}} \mathit{'}의 길이는? (단, a>0a > 0) [3점]

①8\mathrm{8}②45\displaystyle 4 \sqrt{5}③46\displaystyle 4 \sqrt{6}④47\displaystyle 4 \sqrt{7}⑤82\displaystyle 8 \sqrt{2}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 쌍곡선의 정의 이해하기 PF‾=QF‾=k(k>0)\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{\mathrm{QF}}} = k \left( k > 0 \right)이라 하면 쌍곡선 x2a2−y216=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{16} = 1의 주축의 길이가 2a2 a이므로 PF′‾−PF‾2=2a\displaystyle {\overline{\mathrm{PF} \mathit{'}}} - {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} = 2 a에서 PF′‾=2a+k\displaystyle {\overline{\mathrm{PF} \mathit{'}}} = 2 a + k QF′‾−QF′‾=2a\displaystyle {\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}} - {\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}} = 2 a에서 QF′‾=k−2a\displaystyle {\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}} = k - 2 a PQ‾=PF′‾−QF′‾=(2a+k)−(k−2a)=4a\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{PF} \mathit{'}}} - {\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}} = \left( 2 a + k \right) - \left( k - 2 a \right) = 4 a PQ‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 8이므로 a=2a = 2 c2=a2+16=20c ^{2} = a ^{2} + 16 = 20에서 c=25\displaystyle c = 2 \sqrt{5} 따라서 FF′‾=2c=45\displaystyle {\overline{\mathrm{FF} \mathit{'}}} = 2 c = 4 \sqrt{5}

태그

#쌍곡선의 정의#초점

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 이차곡선 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로