소수와 자연수 개수

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 추론한다. $p ^{2} q < n \leq pq ^{2}$을 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $pq ^{2} - p ^{2} q$이므로 $pq ^{2} - p ^{2} q$$= pq ( q - p ) = 308$ $p < q$이므로 $q - p > 0$이고 $p$, $q$가 자연수이므로 $q - p$도 자연수이다. $p < q$이고 $q - p < q$이므로 세 자연수 $p$, $q$, $q - p$ 중 $q$가 가장 큰 자연수이다. $308$을 소인수분해하면 $308 = 2 ^{2} \times 7 \times 11$ $q$는 $308$의 가장 큰 소인수이므로 $q = 11$ $p$는 $308$의 소인수이고 $p < q$이므로 $p = 2$ 또는 $p = 7$ (ⅰ) $p = 2$인 경우 $pq ( q - p ) = 2 \times 11 \times ( 11 - 2 ) = 198$ (ⅱ) $p = 7$인 경우 $pq ( q - p ) = 7 \times 11 \times ( 11 - 7 ) = 308$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $pq ( q - p ) = 308$일 때 $p = 7$, $q = 11$ 따라서 $p + q = 18$