대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

소수부분과 등비수열

문제

양의 실수 xx를 x=n+αx = n + \alpha(nn은 정수, 0≤α<10 \leq \alpha < 1)로 나타낼 수 있다. α\alpha, nn, xx가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, xx의 값을 구하는 과정이다. α\alpha, nn, xx가 등비수열이므로 αn=\displaystyle \frac{\alpha}{n} = □(가){\square {( \text{가} )}} 한편, n≠0,α≠0n \ne 0 , \alpha \ne 0이므로 1≤n<nα=\displaystyle 1 \leq n < \frac{n}{\alpha} = 1□(가)\displaystyle \frac{1}{{\square {( \text{가} )}}}=n+αn\displaystyle = \frac{n + \alpha}{n} =1+□(나)<2= 1 + {\square {( \text{나} )}} < 2 ∴ n=1n = 1 따라서, n=1n = 1을 αn=□(가)\displaystyle \frac{\alpha}{n} = {\square {( \text{가} )}} 에 대입하여 xx의 값을 구하면 x=□(다)x = {\square {( \text{다} )}} 이다.

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) (다)
①xα\displaystyle \frac{x}{\alpha}αn\displaystyle \frac{\alpha}{n}5−12\displaystyle \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
②xα\displaystyle \frac{x}{\alpha}nα\displaystyle \frac{n}{\alpha}5+12\displaystyle \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
③nx\displaystyle \frac{n}{x}αn\displaystyle \frac{\alpha}{n}5+12\displaystyle \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
④nx\displaystyle \frac{n}{x}nα\displaystyle \frac{n}{\alpha}5+12\displaystyle \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
⑤nx\displaystyle \frac{n}{x}αn\displaystyle \frac{\alpha}{n}5−12\displaystyle \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
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③

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해설

[출제의도] 등비수열의 뜻을 알기 α\alpha, nn, xx가 등비수열이므로 αn=□nx\displaystyle \frac{\alpha}{n} = {\square {\frac{n}{x}}} 한편, n≠0n \ne 0, α≠0\alpha \ne 0이므로 1≤n<nα=1nx=n+αn=1+□αn<2\displaystyle 1 \leq n < \frac{n}{\alpha} = \frac{1}{\frac{n}{x}} = \frac{n + \alpha}{n} = 1 + {\square {\frac{\alpha}{n}}} < 2 ∴ n=1n = 1 따라서, n=1n = 1을 αn=nx\displaystyle \frac{\alpha}{n} = \frac{n}{x}에 대입하여 xx의 값을 구하면 x=□5+12\displaystyle x = {\square {\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}}이다.

태그

#등비중항#빈칸

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