소수부분 합성함수 교점

[출제의도] 두 그래프의 교점의 개수를 수열로 나타내고 합을 구한다. $f ( x ) = 2 ^{x}$, $g ( x ) = x - [ x ]$이므로 $g ( f ( x ) ) = f ( x ) - [ f ( x ) ] = 2 ^{x} - [ 2 ^{x} ]$ ⅰ) $x < 0$일 때, $0 < 2 ^{x} < 1$이므로 $[ 2 ^{x} ] = 0$ 즉 $g ( f ( x ) ) =$$2 ^{x} - [ 2 ^{x} ] = 2 ^{x}$ ⅱ) $0 \leq x < \log _{2} 2$일 때, $1 \leq 2 ^{x} < 2$ 이므로 $[ 2 ^{x} ] = 1$ 즉, $g ( f ( x ) ) =$$2 ^{x} - [ 2 ^{x} ] = 2 ^{x} - 1$이므로 $y = g ( f ( x ) )$의 그래프는 $y = 2 ^{x}$의 그래프를 $y$축 방향으로 $- 1$만큼 평행이동 시킨 것이다. ⅲ) $\log _{2} 2 \leq x < \log _{2} 3$일 때, $2 \leq 2 ^{x} < 3$이므로 $[ 2 ^{x} ] = 2$ 즉, $g ( f ( x ) ) =$$2 ^{x} - [ 2 ^{x} ] = 2 ^{x} - 2$이므로 $y = g ( f ( x ) )$의 그래프는 $y = 2 ^{x}$의 그래프를 $y$축 방향으로 $- 2$만큼 평행이동 시킨 것이다. ⅳ) $\log _{2} 3 \leq x < \log _{2} 4$일 때, $3 \leq 2 ^{x} < 4$이므로 $[ 2 ^{x} ] = 3$ 즉, $g ( f ( x ) ) =$$2 ^{x} - [ 2 ^{x} ] = 2 ^{x} - 3$이므로 $y = g ( f ( x ) )$의 그래프는 $y = 2 ^{x}$의 그래프를 $y$축 방향으로 $- 3$만큼 평행이동 시킨 것이다. 다음의 그래프는 각각의 $x$의 범위에 따라 $y = 2 ^{x}$의 그래프를 평행이동하는 과정을 보여주는 것이다.

그러므로 $y = ( g \circ f ) ( x ) = 2 ^{x} - [ 2 ^{x} ]$의 그래프와 $n = 1$, $2$, $3$일 때 $\displaystyle y = - \frac{1}{n} x + 1$의 그래프를 그리면 그림과 같다.

그림을 참고하여 $n = 1$,$2$,$3$일 때 $\displaystyle y = - \frac{1}{n} x + 1$과 $y = 2 ^{x} - [ 2 ^{x} ]$의 그래프가 만나는 점의 개수 $a _{n}$을 구하면 $n = 1$일 때 $\displaystyle y = - \frac{1}{n} x + 1$의 $x$절편이 $1 = \log _{2} 2$이므로 교점의 개수 $a _{1} = 2$ $n = 2$일 때 $\displaystyle y = - \frac{1}{n} x + 1$의 $x$절편이 $2 = \log _{2} 2 ^{2}$이므로 교점의 개수 $a _{2} = 2 ^{2}$ $n = 3$일 때 $\displaystyle y = - \frac{1}{n} x + 1$의 $x$절편이 $3 = \log _{2} 2 ^{3}$이므로 교점의 개수 $a _{3} = 2 ^{3}$ 따라서 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 2 + 4 + 8 = 14$ [참고] 자연수 $k$에 대해 $\log _{2} k \leq x < \log _{2} ( k + 1 )$일 때 $k \leq 2 ^{x} < k + 1$이므로 $[ 2 ^{x} ] = k$ 즉, $g ( f ( x ) ) =$$2 ^{x} - [ 2 ^{x} ]$$= 2 ^{x} - k$이므로 $y = g ( f ( x ) )$의 그래프는 $y = 2 ^{x}$의 그래프를 $y$축 방향으로 $- k$만큼 평행이동 시킨 것이다. $n = k$($k$는 자연수)일 때 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{n} x + 1$의 $x$절편이 $k = \log _{2} 2 ^{k}$이므로 교점의 개수는 $a _{k} = 2 ^{k}$