공통수학2집합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

소수·약수 집합 보기

문제

자연수 nn에 대하여 An={x∣xA _{n} = \left\{ x \left| x \right. \right.는 nn이하의 소수}\} Bn={x∣xB _{n} = \left\{ x \left| x \right. \right.는 nn의 양의 약수}\} 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. A3∩B4={2}A _{3} \cap B _{4} = \left\{ 2 \right\} ㄴ. 모든 자연수 nn에 대하여 An⊂An+1A _{n} \subset A _{n + 1}이다. ㄷ. 두 자연수 mm, nn에 대하여 Bm⊂BnB _{m} \subset B _{n}이면 mm은 nn의 배수이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 소수와 약수의 성질을 이용하여 집합 사이의 관계를 추론한다. ㄱ. 33이하의 소수는 22, 33이므로 A3={2,3}A _{3} = \left\{ 2 , 3 \right\} 44의 양의 약수는 11, 22, 44이므로 B4={1,2,4}B _{4} = \left\{ 1 , 2 , 4 \right\} 그러므로 A3∩B4={2}A _{3} \cap B _{4} = \left\{ 2 \right\} (참) ㄴ. a∈Ana \in A _{n}이면 a≤na \leq n이고 aa는 소수이다. a≤n<n+1a \leq n < n + 1이고 aa는 소수이므로 a∈An+1a \in A _{n+1} 그러므로 An⊂An+1A _{n} \subset A _{n+1} (참) ㄷ. (반례) m=4m = 4, n=8n = 8이면 B4={1,2,4}B _{4} = \left\{ 1 , 2 , 4 \right\}, B8={1,2,4,8}B _{8} = \left\{ 1 , 2 , 4 , 8 \right\}이므로 B4⊂B8B _{4} \subset B _{8} 그런데 44는 88의 배수가 아니다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

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