속도와 위치벡터 평행

[출제의도] 위치와 속도의 관계, 두 벡터가 평행할 조건 및 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 코사인의 값을 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t \left( 0 < t < \pi \right)$에서의 위치 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , y \right)$가 $\displaystyle x = \sqrt{3} \sin t$, $y = 2 \cos t - 5$ 이므로 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = \sqrt{3} \cos t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = - 2 \sin t$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t = \alpha \left( 0 < \alpha < \pi \right)$에서의 속도 ${\vec{v}}$는 $\displaystyle {\vec{v}} = \left( \sqrt{3} \cos \alpha , - 2 \sin \alpha \right)$ 한편, 점 $\mathrm{P}$의 시간 $t = \alpha \left( 0 < \alpha < \pi \right)$에서의 위치 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , y \right)$는 $\displaystyle x = \sqrt{3} \sin \alpha$, $y = 2 \cos \alpha - 5$ 이므로 $\displaystyle {\vec{\mathrm{OP}}} = \left( \sqrt{3} \sin \alpha , 2 \cos \alpha - 5 \right)$ 시각 $t = \alpha \left( 0 < \alpha < \pi \right)$에서의 점 $\mathrm{P}$의 속도 ${\vec{v}}$와 ${\vec{\mathrm{OP}}}$가 서로 평행하므로 ${\vec{v}} = t {\vec{\mathrm{OP}}}$ (단, $t$는 $0$이 아닌 실수), 즉 $\displaystyle \left( \sqrt{3} \cos \alpha , - 2 \sin \alpha \right)$$\displaystyle = t \left( \sqrt{3} \sin \alpha , 2 \cos a - 5 \right)$ 에서 $\displaystyle \sqrt{3} \cos \alpha = t \times \sqrt{3} \sin \alpha$ $\cdots \cdots$ ㉠ $- 2 \sin \alpha = t \times \left( 2 \cos \alpha - 5 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉡ $0 < \alpha < \pi$에서 $\sin \alpha > 0$이므로 ㉠에서 $\displaystyle t = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ 이므로 이 값을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle - 2 \sin \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \times \left( 2 \cos \alpha - 5 \right)$ $- 2 \sin ^{2} \alpha = 2 \cos ^{2} \alpha - 5 \cos \alpha$ 이때, $\sin ^{2} \alpha = 1 - \cos ^{2} \alpha$이므로 $- 2 \left( 1 - \cos ^{2} \alpha \right) = 2 \cos ^{2} \alpha - 5 \cos \alpha$ $- 2 = - 5 \cos \alpha$ 따라서 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{2}{5}$