미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

속도와 위치 변화량

문제

실수 aa(a≥0)( a \geq 0 )에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 tt(t≥0)( t \geq 0 )에서의 속도 v(t)v ( t )를 v(t)=−t(t−1)(t−a)(t−2a)v ( t ) = \mathit{-} t ( t - 1 ) ( t - a ) ( t - 2 a ) 라 하자. 점 P\mathrm{P}가 시각 t=0t = 0일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 aa에 대하여, 시각 t=0t = 0에서 t=2t = 2까지 점 P\mathrm{P}의 위치의 변화량의 최댓값은? [4점] ①15\displaystyle \frac{1}{5}②730\displaystyle \frac{7}{30}③415\displaystyle \frac{4}{15}④310\displaystyle \frac{3}{10}⑤13\displaystyle \frac{1}{3}

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③

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 위치의 변화량의 최댓값을 구할 수 있는가 a≠0a \ne 0, a≠12\displaystyle a \ne \frac{1}{2}, a≠1a \ne 1이면 점 P\mathrm{P}는 출발 후 운동 방향을 세 번 바꾼다. 그러므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) a=0a = 0일 때 v(t)=−t3(t−1)v \left( t \right) = \mathit{-} t ^{3} \left( t - 1 \right) 이때 점 P\mathrm{P}는 출발 후 운동 방향을 t=1t = 1에서 한 번만 바꾸므로 조건을 만족시킨다. 그러므로 시각 t=0t = 0에서 t=2t = 2까지 점 P\mathrm{P}의 위치의 변화량은 ∫02−t3(t−1)dt\displaystyle \int _{0} ^{2} {} - t ^{3} \left( t - 1 \right) dt=∫02(−t4+t3)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \left( - t ^{4} + t ^{3} \right) dt =[−15t5+14t4]02\displaystyle = \left[ - \frac{1}{5} t ^{5} + \frac{1}{4} t ^{4} \right] _{0} ^{2} =−325+4\displaystyle = \mathit{-} \frac{32}{5} + 4 =−125\displaystyle = \mathit{-} \frac{12}{5} (ⅱ) a=12\displaystyle a = \frac{1}{2}일 때 v(t)=−t(t−12)(t−1)2\displaystyle v \left( t \right) = \mathit{-} t \left( t - \frac{1}{2} \right) \left( t - 1 \right) ^{2} 이때 점 P\mathrm{P}는 출발 후 운동 방향을 t=12\displaystyle t = \frac{1}{2}에서 한 번만 바꾸므로 조건을 만족시킨다. 그러므로 시각 t=0t = 0에서 t=2t = 2까지 점 P\mathrm{P}의 위치의 변화량은 ∫02−t(t−12)(t−1)2dt\displaystyle \int _{0} ^{2} {} - t \left( t - \frac{1}{2} \right) \left( t - 1 \right) ^{2} dt =∫02−(t2−12t)(t2−2t+1)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} - \left( t ^{2} - \frac{1}{2} t \right) \left( t ^{2} - 2 t + 1 \right) dt =∫02(−t4+52t3−2t2+12t)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \left( - t ^{4} + \frac{5}{2} t ^{3} - 2 t ^{2} + \frac{1}{2} t \right) dt =[−15t5+58t4−23t3+14t2]02\displaystyle = \left[ - \frac{1}{5} t ^{5} + \frac{5}{8} t ^{4} - \frac{2}{3} t ^{3} + \frac{1}{4} t ^{2} \right] _{0} ^{2} =−325+10−163+1\displaystyle = \mathit{-} \frac{32}{5} + 10 - \frac{16}{3} + 1 =−325−163+11\displaystyle = \mathit{-} \frac{32}{5} - \frac{16}{3} + 11 =(−96)+(−80)+16515\displaystyle = \frac{\left( - 96 \right) + \left( - 80 \right) + 165}{15} =−1115\displaystyle = \mathit{-} \frac{11}{15} (ⅲ) a=1a = 1일 때 v(t)=−t(t−1)2(t−2)v \left( t \right) = \mathit{-} t \left( t - 1 \right) ^{2} \left( t - 2 \right) 이때 점 P\mathrm{P}는 출발 후 운동방향을 t=2t = 2에서 한 번만 바꾸므로 조건을 만족시킨다. 그러므로 시각 t=0t = 0에서 t=2t = 2까지 점 P\mathrm{P}의 위치의 변화량은 ∫02−t(t−1)2(t−2)dt\displaystyle \int _{0} ^{2} {} - t \left( t - 1 \right) ^{2} \left( t - 2 \right) dt =∫02−t(t2−2t+1)(t−2)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} - t \left( t ^{2} - 2 t + 1 \right) \left( t - 2 \right) dt =∫02(−t4+4t3−5t2+2t)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \left( - t ^{4} + 4 t ^{3} - 5 t ^{2} + 2 t \right) dt =[−15t5+t4−53t3+t2]02\displaystyle = \left[ - \frac{1}{5} t ^{5} + t ^{4} - \frac{5}{3} t ^{3} + t ^{2} \right] _{0} ^{2} =−325+16−203+4\displaystyle = \mathit{-} \frac{32}{5} + 16 - \frac{20}{3} + 4 =−325−403+20\displaystyle = \mathit{-} \frac{32}{5} - \frac{40}{3} + 20 =(−96)+(−200)+30015\displaystyle = \frac{\left( - 96 \right) + \left( - 200 \right) + 300}{15} =415\displaystyle = \frac{4}{15} (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 점 P\mathrm{P}의 위치의 변화량의 최댓값은 415\displaystyle \frac{4}{15}이다.

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#속도#위치의 변화량

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