속도와 위치

속도 $v \left( t \right)$가 $\displaystyle v \left( t \right) = \begin{cases} - t ^{2} + t + 2 & \left( 0 \leq t \leq 3 \right) \\ k \left( t - 3 \right) - 4 & \left( t > 3 \right) \end{cases}$ 방정식 $- t ^{2} + t + 2 = 0$에서 $- \left( t - 2 \right) \left( t + 1 \right) = 0$ $t = 2$ 또는 $t = - 1$ 처음으로 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t = 2$이다. 따라서 두 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각은 방정식 $k \left( t - 3 \right) - 4 = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{4}{k} + 3$ $\displaystyle t = \frac{k}{4} + 3$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치가 $1$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left( - t ^{2} + t + 2 \right) dt + \int _{3} ^{\frac{4}{k} + 3} {} \left( kt - 3 k - 4 \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{3} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2} + 2 t \end{array} \right] _{0} ^{3} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{k}{2} t ^{2} - 3 kt - 4 t \end{array} \right] _{3} ^{\frac{4}{k} + 3}$ $\displaystyle = \left( - 9 + \frac{9}{2} + 6 \right) + \left\{ \frac{k}{2} \left( \frac{4}{k} + 3 \right) ^{2} - 3 k \left( \frac{4}{k} + 3 \right) - 4 \left( \frac{4}{k} + 3 \right) \right.$$\displaystyle - \left( \frac{9 k}{2} - 9 k - 12 \right) \}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} - \frac{8}{k} = 1$ $\therefore$ $k = 16$