속도와 움직인 거리

[출제의도] 도함수를 활용하여 수직선 위를 움직이는 점이 움직인 거리를 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t > 0$)에서의 가속도를 $a \left( t \right)$라 하면 $v \left( t \right)$$= \mathit{-} 4 t ^{3} + 12 t ^{2}$ 이므로 $a \left( t \right)$$= v' \left( t \right)$$= \mathit{-} 12 t ^{2} + 24 t$ 시각 $t$$= k$에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $12$이므로 $- 12 k ^{2} + 24 k$$= 12$ $k ^{2} - 2 k + 1$$= 0$ $\left( k - 1 \right) ^{2}$$= 0$ $k = 1$ 한편, $v \left( t \right)$$= \mathit{-} 4 t ^{3} + 12 t ^{2}$$= \mathit{-} 4 t ^{2} \left( t - 3 \right)$이므로 $3 \leq t \leq 4$일 때 $v \left( t \right) \leq 0$이다. 따라서 $t$$= 3$에서 $t$$= 4$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{3} ^{4} {} \left| v \left( t \right) \right| dt$$\displaystyle = \int _{3} ^{4} {} \left| - 4 t ^{3} + 12 t ^{2} \right| dt$ $\displaystyle = \int _{3} ^{4} {} \left( 4 t ^{3} - 12 t ^{2} \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} t ^{4} - 4 t ^{3} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{3} ^{4}$ $= 0 - \left( - 27 \right)$$= 27$