속도와 움직인 거리

시각이 $t \left( t \geq 0 \right)$일 때 점 ${\mathrm{P}}$의 위치를 $x \left( t \right)$라 하면 $x \left( 0 \right) = 0$ ㄱ. $k = 0$이면, $v \left( t \right) = 3 t ^{2} - 6 t$ $x \left( 1 \right)$$\displaystyle = x \left( 0 \right) + \int _{0} ^{1} v \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} \left( 3 t ^{2} - 6 t \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 3 t ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{1} = - 2$ (참) ㄴ. $k = 2$이면, $v \left( t \right) = 3 t ^{2} - 6 t + 2$ 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 ${\mathrm{P}}$가 움직인 거리와 점 ${\mathrm{P}}$의 위치의 변화량이 같아지려면 $0 \leq t \leq 3$인 모든 $t$에 대하여 $v \left( t \right) \geq 0$이어야 한다. $v \left( 1 \right) = - 1$이므로 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 ${\mathrm{P}}$가 움직인 거리는 점 ${\mathrm{P}}$의 위치의 변화량과 같지 않다. (거짓) ㄷ. $k = - 9$이면, $v \left( t \right) = 3 t ^{2} - 6 t - 9$ $3 t ^{2} - 6 t - 9 = 3 \left( t + 1 \right) \left( t - 3 \right)$이므로 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 ${\mathrm{P}}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{4} \left| v \left( t \right) \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} \left( - 3 t ^{2} + 6 t + 9 \right) dt + \int _{3} ^{4} \left( 3 t ^{2} - 6 t - 9 \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{3} + 3 t ^{2} + 9 t \end{array} \right] _{0} ^{3} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 3 t ^{2} - 9 t \end{array} \right] _{3} ^{4}$ $= 27 + 7 = 34$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ