속도와 움직인 거리

$v \left( t \right)$$= 3 t ^{2} - 10 t + 7$$= \left( 3 t - 7 \right) \left( t - 1 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㄱ. $v \left( t \right) = 0$일 때 ㉠에서 $\left( 3 t - 7 \right) \left( t - 1 \right) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $\displaystyle t = \frac{7}{3}$ $0 < t < 1$일 때 $v \left( t \right) > 0$ $t = 1$일 때 $v \left( 1 \right) = 0$ $\displaystyle 1 < t < \frac{7}{3}$일 때 $v \left( t \right) < 0$ 따라서 시각 $t = 1$일 때 점 ${\mathrm{P}}$의 운동 방향이 바뀐다. (참) ㄴ. 점 ${\mathrm{P}}$의 시각 $t$에서의 위치를 $x \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle x \left( t \right) = \int v \left( t \right) dt$ 이므로 $x \left( t \right)$$\displaystyle = \int \left( 3 t ^{2} - 10 t + 7 \right) dt$ ($\because$ ㉠) $= t ^{3} - 5 t ^{2} + 7 t + C$ (단, $C$는 적분상수) 이때 $x \left( 0 \right) = 0$이므로 $C = 0$ $\therefore$ $x \left( t \right) = t ^{3} - 5 t ^{2} + 7 t$ 따라서 시각 $t = 1$일 때 점 ${\mathrm{P}}$의 위치는 $x \left( 1 \right) = 1 ^{3} - 5 \times 1 ^{2} + 7 \times 1 = 3$ (참) ㄷ. 시각 $t = 0$에서 $t = 2$까지 점 ${\mathrm{P}}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} \left| v \left( t \right) \left| dt \right. \right.$ ㄱ에서 구간 $\left[ 0 , 1 \right]$일 때 $v \left( t \right) \geq 0$이고, 구간 $\left[ 1 , 2 \right]$일 때 $v \left( t \right) \leq 0$이므로 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} \left| 3 t ^{2} - 10 t + 7 \left| dt \right. \right.$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} \left( 3 t ^{2} - 10 t + 7 \right) dt + \int _{1} ^{2} \left\{ - \left( 3 t ^{2} - 10 t + 7 \right) \right\} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 5 t ^{2} + 7 t \end{array} \right] _{0} ^{1} - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 5 t ^{2} + 7 t \end{array} \right] _{1} ^{2}$ $= \left( 1 - 5 + 7 \right) - \left\{ \left( 8 - 20 + 14 \right) - \left( 1 - 5 + 7 \right) \right\}$ $= 3 - \left( 2 - 3 \right) = 3 - \left( - 1 \right) = 4$ (참) 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.