미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

속도와 가속도의 내적

문제

좌표평면 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 t(0<t<π)t ( 0 < t < \pi )에서의 위치 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )가 x=2t−cos⁡t,y=4−sin⁡tx = 2 t - \cos t , y = 4 - \sin t 이다. 시각 t=α(0<α<π)t = \alpha ( 0 < \alpha < \pi )에서의 점 P\mathrm{P}의 속도 v⃗\vec{v}와 가속도 a⃗\vec{a}가 v⃗⋅a⃗=1\vec{v} \cdot \vec{a} = 1을 만족시킬 때, α\alpha의 값은? [3점]

①π6\displaystyle \frac{\pi}{6}②π3\displaystyle \frac{\pi}{3}③π2\displaystyle \frac{\pi}{2}④2π3\displaystyle \frac{2 \pi}{3}⑤5π6\displaystyle \frac{5 \pi}{6}

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②

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해설

v⃗=(2+sin⁡t,−cos⁡t)\vec{v} = ( 2 + \sin t , - \cos t ) a⃗=(cos⁡t,sin⁡t)\vec{a} = ( \cos t , \sin t ) t=αt = \alpha일 때, 점PP 의 v⃗=(2+sin⁡α,−cos⁡α)\vec{v} = ( 2 + \sin \alpha , - \cos \alpha ), a⃗=(cos⁡α,sin⁡α)\vec{a} = ( \cos \alpha , \sin \alpha ) v⃗⋅a⃗=(2+sin⁡α,−cos⁡α)⋅(cos⁡α,sin⁡α){\vec{v}} \cdot {\vec{a}} = ( 2 + \sin \alpha , - \cos \alpha ) \cdot ( \cos \alpha , \sin \alpha )=2cos⁡α=1= 2 \cos \alpha = 1 α\alpha는 0<α<π0 < \alpha < \pi 이므로 α=π3\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{3}

태그

#속도#가속도#매개변수

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