속도와 가속도 수직

[출제의도] 평면운동을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 점 $P$의 시각 $t ( 0 < t < 2 \pi )$에서의 위치 $P ( x , y )$가 $x = t - \cos 2 t , y = \sin 2 t$이므로 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1 + 2 \sin 2 t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2 \cos 2 t$ $\displaystyle \frac{d ^{2} x}{dt ^{2}} = 4 \cos 2 t$, $\displaystyle \frac{d ^{2} y}{dt ^{2}} = - 4 \sin 2 t$ 시각 $t = \alpha ( 0 < \alpha < 2 \pi )$에서의 점 $P$의 속도 ${\vec{v}}$와 가속도 ${\vec{a}}$는 ${\vec{v}} = ( 1 + 2 \sin 2 \alpha , 2 \cos 2 \alpha )$ ${\vec{a}} = ( 4 \cos 2 \alpha , - 4 \sin 2 \alpha )$ 점 $P$의 속도 ${\vec{v}}$와 가속도 ${\vec{a}}$가 서로 수직이므로 ${\vec{v}} \bullet {\vec{a}} = 0$ $4 \cos 2 \alpha + 8 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha - 8 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha = 0$ 즉, $\cos 2 \alpha = 0$ $0 < 2 \alpha < 4 \pi$이므로 $\displaystyle 2 \alpha = \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle 2 \alpha = \frac{3}{2} \pi$ 또는 $\displaystyle 2 \alpha = \frac{5}{2} \pi$ 또는 $\displaystyle 2 \alpha = \frac{7}{2} \pi$ 따라서 $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{3}{4} \pi$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{5}{4} \pi$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{7}{4} \pi$ 이므로 합은 $4 \pi$