미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

속도 그래프 움직인 거리

문제

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 tt (t≥0)\left( t \geq 0 \right)에서의 속도 v(t)v ( t )의 그래프가 그림과 같다.

점 P\mathrm{P}가 출발한 후 처음으로 운동 방향을 바꿀 때의 위치는 −8- 8이고 점 P\mathrm{P}의 시각 t=ct = c에서의 위치는 −6- 6이다. ∫0bv(t)dt=∫bcv(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{b} {v ( t )} dt = \int _{b} ^{c} {v ( t )} dt일 때, 점 P\mathrm{P}가 t=at = a부터 t=bt = b까지 움직인 거리는? [4점] ①33②44③55④66⑤77

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③

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해설

[출제의도] 그래프를 이용하여 정적분과 거리의 관계를 추론한다. ∫0a∣v(t)∣dt=s1\displaystyle \int _{0} ^{a} {\left| v ( t ) \right|} dt = s _{1}, ∫ab∣v(t)∣dt=s2\displaystyle \int _{a} ^{b} {\left| v ( t ) \right|} dt = s _{2}, ∫bc∣v(t)∣dt=s3\displaystyle \int _{b} ^{c} {\left| v ( t ) \right|} dt = s _{3}이라 하자. 점 P\mathrm{P}는 출발한 후 시각 t=at = a에서 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 −8=∫0av(t)dt=−s1\displaystyle - 8 = \int _{0} ^{a} {v ( t )} dt = \mathit{-} s _{1}에서 s1=8s _{1} = 8 점 P\mathrm{P}의 시각 t=ct = c에서의 위치가 −6- 6이므로 −6=∫0cv(t)dt=(−8)+s2−s3\displaystyle - 6 = \int _{0} ^{c} {v ( t )} dt = \mathit{\left( - 8 \right)} + s _{2} - s _{3} 에서 s2−s3=2s _{2} - s _{3} = \mathit{2} ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ ∫0bv(t)dt=∫bcv(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{b} {v ( t )} dt = \int _{b} ^{c} {v ( t )} dt이므로 −8+s2=−s3- 8 + s _{2} = \mathit{-} s _{3}, 즉 s2+s3=8s _{2} + s _{3} = 8　⋯⋯\cdots \cdots　㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 s2=5s _{2} = 5, s3=3s _{3} = 3 따라서 구하는 거리는 55이다.

태그

#속도 그래프#움직인 거리

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