공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

소인수 지수합 함수 보기

문제

자연수 $n$ 은 $n = p _{1} ^{m _{1}} p _{2} ^{m _{2}} \cdots p _{r} ^{m _{r}}$ (단, $m _{1} , m _{2} , \cdots , m _{r}$ 은 음이 아닌 정수이고, $p _{1} , p _{2} , \cdots , p _{r}$ 은 모두 서로 다른 소수이다.)과 같이 유일하게 소인수분해된다. 이 때, $f ( n ) = m _{1} + m _{2} + \cdots + m _{r}$ 로 정의한다. 예를 들면, $f ( 10 ) = f ( 2 ^{1} \cdot 5 ^{1} ) = 1 + 1 = 2$ 이다. 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점] ㄱ. $f ( 10 ^{4} ) < f ( 10 ^{5} )$ ㄴ. $n _{1} < n _{2}$ 이면 $f ( n _{1} ) < f ( n _{2} )$ 이다. ㄷ. 자연수 $n$ 에 대하여 $f ( 2 ^{n} + 2 ^{n+3} ) = n + 2$ 이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. $f ( 10 ^{4} ) = f ( 2 ^{4} \cdot 5 ^{4} ) = 4 + 4 = 8$ $f ( 10 ^{5} ) = f ( 2 ^{5} \cdot 5 ^{5} ) = 5 + 5 = 10$ 이므로 $\therefore f ( 10 ^{4} ) < f ( 10 ^{5} )$ ㄴ. (반례) $n _{1} = 6 < n _{2} = 10$ 이면 $f ( n _{1} ) = f ( 6 ) = f ( 2 \cdot 3 ) = 1 + 1 = 2$ $f ( n _{2} ) = f ( 10 ) = f ( 2 \cdot 5 ) = 1 + 1 = 2$ 이므로 $\therefore f ( n _{1} ) = f ( n _{2} )$ 이되어 모순이다. ㄷ. 자연수 $n$ 에 대하여 $f ( 2 ^{n} + 2 ^{n+3} ) = f ( 2 ^{n} ( 1 + 2 ^{3} ) ) = f ( 2 ^{n} \cdot 3 ^{2} ) = n + 2$

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