확률과 통계통계적 추정AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간의 길이로 모표준편차와 표본의 크기 구하기

문제

어느 회사에서 생산하는 음료수 한 병의 용량은 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 음료수 100100병을 임의추출하여 구한 용량의 평균 mm에 대한 신뢰도 9595%의 신뢰구간의 길이가 3.923.92 mL이었다. 같은 신뢰도로 구한 신뢰구간의 길이가 1.961.96 mL 이하가 되도록 하려면 임의추출해야 하는 음료수의 병 수의 최솟값을 구하시오. (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P(∣Z∣≤1.96)=0.95\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq 1.96 ) = 0.95로 계산한다.) [3점]

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400

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해설

모표준편차를 σ\sigma라 하면 표본의 크기가 100100일 때 신뢰구간의 길이는 2×1.96×σ100=3.92\displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{100}} = 3.92에서 σ=10\sigma = 10 표본의 크기를 nn이라 하면 신뢰구간의 길이는 2×1.96×10n\displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{n}}이므로 2×1.96×10n≤1.96\displaystyle 2 \times 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{n}} \leq 1.96에서 20n≤1\displaystyle \frac{20}{\sqrt{n}} \leq 1 n≥20\displaystyle \sqrt{n} \geq 20, 즉 n≥400n \geq 400 따라서 병 수의 최솟값은 400400이다.

태그

#통계적 추정#신뢰구간의 길이#모표준편차#실생활

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