확률과 통계통계적 추정AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

신뢰구간에서 신뢰도 구하기

문제

어느 양계장에서 생산하는 달걀 한 개의 무게는 표준편차가 88 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양계장의 달걀 1616개를 임의추출하여 구한 무게의 평균 mm에 대한 신뢰도 α\alpha%의 신뢰구간이 [94.84,105.16][ 94.84 , 105.16 ]이었다. α\alpha의 값을 구하시오. (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P(0≤Z≤1.96)=0.475\mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq 1.96 ) = 0.475, P(0≤Z≤2.58)=0.495\mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq 2.58 ) = 0.495로 계산한다.) [4점]

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99

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해설

모표준편차 σ=8\sigma = 8, 표본의 크기 n=16n = 16이므로 σn=84=2\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{4} = 2 신뢰구간의 중점이 표본평균이므로 표본평균은 94.84+105.162=100\displaystyle \frac{94.84 + 105.16}{2} = 100 P(∣Z∣≤k)=α100\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq k ) = \frac{\alpha}{100}이라 하면 신뢰구간은 [100−2k,100+2k][ 100 - 2 k , 100 + 2 k ]이므로 2k=105.16−100=5.162 k = 105.16 - 100 = 5.16에서 k=2.58k = 2.58 P(∣Z∣≤2.58)=2×0.495=0.99\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq 2.58 ) = 2 \times 0.495 = 0.99 따라서 α=99\alpha = 99이다.

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#통계적 추정#신뢰구간#신뢰도#실생활

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