대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

sin² 합 계산

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 an=(2n)∘a _{n} = ( 2 n ) ^\circ라 하고, 한 변의 길이가 sin⁡an\sin a _{n}인 정사각형의 면적을 AnA _{n}으로 정의한다. 이 때, ∑n=145An\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{45} A _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

An=sin⁡2anA _{n} = \sin ^{2} a _{n}이므로 ∑n=145An=sin⁡2a1+sin⁡2a2+⋯+sin⁡2a45\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{45} A _{n} & = \sin ^{2} a _{1} + \sin ^{2} a _{2} + \cdots + \sin ^{2} a _{45} \end{aligned} =sin⁡22∘+sin⁡24∘+⋯+sin⁡288∘+sin⁡290∘= \sin ^{2} 2 ^\circ + \sin ^{2} 4 ^\circ + \cdots + \sin ^{2} 88 ^\circ + \sin ^{2} 90 ^\circ =22+1=23= 22 + 1 = 23 (∵sin⁡2A+cos⁡2A=1↔sin⁡2A+sin⁡2(90∘−A)=1)( \because \sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1 \leftrightarrow \sin ^{2} A + \sin ^{2} ( 90 ^\circ - A ) = 1 )

태그

#여각 관계#삼각함수 합

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