대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

실수인 n제곱근 개수

문제

$2 \leq n \leq 10$ 인 자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{2} + 1$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f ( n )$ , $n ^{2} - 8 n + 12$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $g ( n )$ 이라 하자. $f ( n ) = 2 g ( n )$ 을 만족시키는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합은? [4점] ① $\mathrm{6}$ ② $\mathrm{7}$ ③ $\mathrm{8}$ ④ $\mathrm{9}$ ⑤ $\mathrm{10}$

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③

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해설

$2 \leq n \leq 10$ 인 자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{2} + 1 > 0$ 이므로 $\displaystyle f ( n ) = {\begin{cases} 1 & & ( n = 3 , 5 , 7 , 9 ) \\ 2 & & ( n = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ) \end{cases}}$ $n ^{2} - 8 n + 12 = ( n - 2 ) ( n - 6 )$ 에서 $\displaystyle g ( n ) = {\begin{cases} 0 & & ( n = 4 ) \\ 1 & & ( n = 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 9 ) \\ 2 & & ( n = 8 , 10 ) \end{cases}}$ $f ( n ) = 2 g ( n )$ 이므로 $f ( n ) = 2$ 이고 $g ( n ) = 1$ 따라서 $n = 2$ 또는 $n = 6$ 이고 그 합은 $\mathrm{8}$

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