대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

실질연봉 로그 활용

문제

실질연봉은 연봉을 그 해의 물가지수로 나눈 값이라고 한다. 예를 들어, 물가지수가 $1.2$ 인 해에 $3000$ (만원)의 연봉을 받는 사람의 실질연봉은 $\displaystyle \frac{3000}{1.2} = 2500$ (만원)이다. 회사원 $\mathrm{K}$ 씨의 연봉은 매년 $10 \%$ 씩 인상되고, 물가지수는 매년 $5 \%$ 씩 상승한다고 한다. 올해의 물가지수를 $1$ 이라 할 때, $\mathrm{K}$ 씨의 실질연봉이 처음으로 올해 실질연봉의 $2$ 배 이상이 되는 해는 올해부터 몇 년 후인가?(단, $\log 1.1 = 0.0414$ , $\log 1.05 = 0.0212$ , $\log 2 = 0.3010$ 으로 계산한다.) [4점] ① $11$ 년 후② $13$ 년 후③ $15$ 년 후④ $17$ 년 후⑤ $19$ 년 후

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③

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해설

올해 연봉을 $a$ (원)이라 하면, $n$ 년 후의 실질연봉은 $\displaystyle \frac{a ( 1 + 0.1 ) ^{n}}{( 1 + 0.05 ) ^{n}}$ $\displaystyle \therefore \frac{a ( 1 + 0.1 ) ^{n}}{( 1 + 0.05 ) ^{n}} \geq 2 a$ 양변에 상용로그를 취하여 정리하면 $n \log 1.1 - n \log 1.05 \geq \log 2$ $n ( 0.0414 - 0.0212 ) \geq 0.3010$ $\displaystyle n \geq \frac{0.3010}{0.0202} = 14.9 \times \times \times$ 따라서 $15$ 년 후에 처음으로 $2$ 배 이상이 된다.

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