실근 차 함수의 불연속

$- 6 \leq t \leq 2$이고, 함수 $f \left( x \right) = 2 x \left( 2 - x \right)$이다. 방정식 $\left\{ f \left( x \right) - t \right\} \left\{ f \left( x - 1 \right) - t \right\} = 0$에서 $f \left( x \right) = t$ 또는 $f \left( x - 1 \right) = t$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 방정식 $f \left( x \right) = t$의 두 실근을 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$라 하면, 방정식 $f \left( x - 1 \right) = t$의 두 실근은 $\alpha + 1$, $\beta + 1$이다. 방정식 $f \left( x \right) = t$에서 $2 x \left( 2 - x \right) = t$, $2 x ^{2} - 4 x + t = 0$ 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 2$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{t}{2}$ 이므로 $\left( \alpha - \beta \right) ^{2} = 4 - 2 t$ $\therefore$ $\displaystyle \beta - \alpha = \sqrt{4 - 2 t}$ $0 \leq x \leq 3$에서 ㉠을 만족시키는 실수 $x$의 최댓값과 최솟값의 차가 $g \left( t \right)$이다. (ⅰ) $0 \leq t \leq 2$일 때

위의 그림에 의하여 $0 \leq t < 2$인 실수 $t$에 대하여 $0 \leq x \leq 3$에서 ㉠을 만족시키는 실수 $x$는 $x = \alpha$ 또는 $x = \alpha + 1$ 또는 $x = \beta$ 또는 $x = \beta + 1$ $\left( \alpha < \alpha + 1 < \beta < \beta + 1 \right)$ 이므로 $g \left( t \right)$$= \left( \beta + 1 \right) - \alpha$$\displaystyle = \sqrt{4 - 2 t} + 1$ $t = 2$이면 $0 \leq x \leq 3$에서 ㉠을 만족시키는 실수 $x$는 $x = 1$ 또는 $x = 2$, $g \left( 2 \right) = 1$ 따라서 $0 \leq t \leq 2$인 모든 실수 $t$에 대하여 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \sqrt{4 - 2 t} + 1$ (ⅱ) $- 6 \leq t < 0$일 때

위의 그림에 의하여 $0 \leq x \leq 3$에서 ㉠을 만족시키는 실수 $x$는 $x = \alpha + 1$ 또는 $x = \beta \left( \alpha + 1 < \beta \right)$ 이므로 $g \left( t \right)$$= \beta - \left( \alpha + 1 \right)$$\displaystyle = \sqrt{4 - 2 t} - 1$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $g \left( t \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \sqrt{4 - 2 t} - 1 & \left( - 6 \leq t < 0 \right) \\ \sqrt{4 - 2 t} + 1 & \left( 0 \leq t \leq 2 \right) \end{cases}}$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 -} {} g \left( t \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 -} {} \left( \sqrt{4 - 2 t} - 1 \right) = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} g \left( t \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \left( \sqrt{4 - 2 t} + 1 \right) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 -} {} g \left( t \right) \ne \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} g \left( t \right)$이므로 함수 $g \left( t \right)$는 $t = 0$에서 불연속이다. $\therefore$ $a = 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow a -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow a +} {} g \left( t \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 -} {} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} g \left( t \right)$ $= 4$