대수수학적 귀납법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

시행 횟수 수열

문제

자연수 $n$ 에 대하여 다음 시행을 한다.

$n$ 이 홀수이면 $n$ 에서 $1$ 을 빼고, $n$ 이 짝수이면 $n$ 을 $2$ 로 나눈다.

자연수 $n$ 이 $1$ 이 될 때까지 반복한 시행의 횟수를 $a _{n}$ 이라 정의하자. 예를 들어 $a _{7} = 4$ , $a _{8} = 3$ 이다. $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 2 ^{n}} ^{2 ^{n} + 3} a _{k}$ 라 할 때, $S _{50}$ 의 값은? (단, $a _{1} = 0$ 이다.) [4점] ① $200$ ② $201$ ③ $202$ ④ $203$ ⑤ $204$

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⑤

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해설

$2 ^{n}$ 이 $1$ 이 될 때까지 시행이 $n$ 번 반복된다. $\therefore$ $a _{2 ^{n}} = n$ 따라서 다음이 성립한다.

$k$	$2 ^{n}$	$2 ^{n} + 1$	$2 ^{n} + 2$	$2 ^{n} + 3$
시행	$2 ^{n-1}$	$2 ^{n}$	$2 ^{n-1} + 1$	$2 ^{n} + 2$
	$2 ^{n-2}$	⋮	$2 ^{n-1}$	⋮
	⋮	⋮	⋮	⋮
	$1$	$1$	$1$	$1$
$a _{k}$	$n$	$n + 1$	$n + 1$	$n + 2$

따라서 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 2 ^{n}} ^{2 ^{n} + 3} a _{k}$ $= 4 n + 4$ 이다. $\therefore$ $S _{50}$ $= 204$

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