시계 삼각형 넓이 변화율

분침의 속력 : $\displaystyle \frac{2 \pi}{60} = \frac{\pi}{30}$ 시침의 속력 : $\displaystyle \frac{\frac{\pi}{6}}{60} = \frac{\pi}{360}$ $3$시 정각에서 $t$(분) 후 분침과 시침이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $4$시 정각 근처에서 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{30} t - \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{360} t \right) = \frac{\pi}{30} t - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{360} t$ $\mathrm{\angle} POQ \mathit{=} 2 \pi - \theta$이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \sin ( 2 \pi - \theta )$$\displaystyle \mathrm{=} 3 \cos \frac{11 \pi}{360} t$ $\displaystyle \frac{dS}{dt} = - 3 \times \frac{11 \pi}{360} \times \sin \frac{11 \pi}{360} t$ $t = 60$일 때, $\displaystyle \frac{dS}{dt} = \frac{11}{240} \pi$ $\therefore$ $p + q = 251$