시그마와 일반항

$n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \sqrt{a _{k}} - \sqrt{a _{k + 1}} \right)$ $\displaystyle = \left( \sqrt{a _{1}} - \sqrt{a _{2}} \right) + \left( \sqrt{a _{2}} - \sqrt{a _{3}} \right) + \cdots$$\displaystyle + \left( \sqrt{a _{n - 1}} - \sqrt{a _{n}} \right)$ $\displaystyle = \sqrt{a _{1}} - \sqrt{a _{n}} = \frac{n - 1}{n}$ $a _{1} = 1$이므로 $n \geq 2$일 때 $\displaystyle \sqrt{a _{n}} = 1 - \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}$ 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{a _{k}} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} k ^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$