대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

시그마의 성질

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 ∑n=110(2an−bn)=7\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 2 a _{n} - b _{n} \right) = 7, ∑n=110(an+bn)=5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 5 일 때, ∑n=110(an−2bn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n} - 2 b _{n} \right)의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] ∑\displaystyle \sum\limits _{} ^{}의 성질을 활용하여 수열의 합 이해하기 ∑n=110(2an−bn)=7\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 2 a _{n} - b _{n} \right) = 7, ∑n=110(an+bn)=5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 5이므로 ∑n=110{(2an−bn)+(an+bn)}=7+5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left\{ \left( 2 a _{n} - b _{n} \right) + \left( a _{n} + b _{n} \right) \right\} = 7 + 5 ∑n=1103an=12\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} 3 a _{n} = 12 ∑n=110an=4\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = 4, ∑n=110bn=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} b _{n} = 1이므로 ∑n=110(an−2bn)=∑n=110an−2∑n=110bn=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n} - 2 b _{n} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} - 2 \sum\limits _{n = 1} ^{10} b _{n} = 2

(다른 풀이) ∑n=110(2an−bn)=7\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 2 a _{n} - b _{n} \right) = 7, ∑n=110(an+bn)=5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 5이므로 ∑n=110(an−2bn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n} - 2 b _{n} \right)=∑n=110{(2an−bn)−(an+bn)}\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left\{ \left( 2 a _{n} - b _{n} \right) - \left( a _{n} + b _{n} \right) \right\} =7−5=2= 7 - 5 = 2

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