대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

시그마의 성질

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 an+bn=na _{n} + b _{n} = n을 만족시킨다. ∑k=110(3ak+1)=40\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( 3 a _{k} + 1 \right) = 40일 때, ∑k=110bk\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} b _{k}의 값은? [3점] ①30\mathrm{30}②35\mathrm{35}③40\mathrm{40}④45\mathrm{45}⑤50\mathrm{50}

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④

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해설

[출제의도] 수열의 합의 성질 이해하기 ∑k=110(3ak+1)=3∑k=110ak+10=40\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( 3 a _{k} + 1 \right) = 3 \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} + 10 = 40에서 ∑k=110ak=10\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} = 10 ∑k=110bk\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} b _{k}=∑k=110{(ak+bk)−ak}\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left\{ \left( a _{k} + b _{k} \right) - a _{k} \right\} =∑k=110k−∑k=110ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} k - \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} =10×112−10\displaystyle = \frac{10 \times 11}{2} - 10 =45= 45

태그

#시그마#합의 성질

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