대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

시그마 식 계산

문제

∑k=1100(k−2)2−∑k=11014+4∑k=1100k−∑k=2101(k−1)2\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{100} ( k - 2 ) ^{2} - \sum\limits _{{k} = 1} ^{101} 4 + 4 \sum\limits _{{k} = 1} ^{100} k - \sum\limits _{{k} = 2} ^{101} ( k - 1 ) ^{2} 의 값은? [3점] ①−400- 400②−4- 4③00④44⑤400400

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②

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해설

시그마의 성질을 이용하여 식을 정리하면 ∑k=1100(k−2)2−∑k=11014+4∑k=1100k−∑k=2101(k−1)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{100} ( k - 2 ) ^{2} - \sum\limits _{k = 1} ^{101} 4 + 4 \sum\limits _{k = 1} ^{100} k - \sum\limits _{k = 2} ^{101} ( k - 1 ) ^{2} =∑k=1100{(k−2)2−4+4k−(k−1)2}−4−1002\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{100} \left\{ ( k - 2 ) ^{2} - 4 + 4 k - ( k - 1 ) ^{2} \right\} - 4 - 100 ^{2} (∵∑k=2101(k−1)2=∑k=1101(k−1)2)\displaystyle \left( \because \sum\limits _{k = 2} ^{101} ( k - 1 ) ^{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{101} ( k - 1 ) ^{2} \right) =∑k=1100(2k−1)−4−1002\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{100} ( 2 k - 1 ) - 4 - 100 ^{2} =2⋅12100⋅101−100−4−1002\displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{2} 100 \cdot 101 - 100 - 4 - 100 ^{2} =−4= - 4

태그

#시그마의 성질

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