시그마 차 조건 수열 합

[출제의도] $\displaystyle \sum\limits _{} ^{}$의 성질을 이용하여 수열의 합을 추론한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{n} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k} = 2 n ^{2} + 2$ $( n \geq 2 )$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ ㉠ 에 $n = 2$를 대입하면 $a _{2} - a _{1} = 10$ 두 식 $a _{1} + a _{2} = 8$, $a _{2} - a _{1} = 10$을 연립하여 풀면 $a _{1} = \mathit{-} 1$, $a _{2} = 9$ $2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 2} ^{n} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k}$ $= ( a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n-1} + a _{n} ) - ( a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{n-1} )$ $= a _{n} - a _{1}$ $= a _{n} + 1$ ㉠ 에서 $a _{n} + 1 = 2 n ^{2} + 2$ $a _{n} = 2 n ^{2} + 1$ $( n \geq 2 )$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $a _{1} = \mathit{-} 1$, $a _{n} = 2 n ^{2} + 1$ $( n \geq 2 )$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}$$\displaystyle = a _{1} + \sum\limits _{k = 2} ^{10} a _{k}$ $\displaystyle = \mathit{-} 1 + \sum\limits _{k = 2} ^{10} ( 2 k ^{2} + 1 )$ $\displaystyle = \mathit{-} 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( 2 k ^{2} + 1 ) - 3$ $\displaystyle = \mathit{-} 4 + 2 \sum\limits _{k = 1} ^{10} k ^{2} + 1 \times 10$ $\displaystyle = \mathit{-} 4 + 2 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + 10$ $= 776$