스티커 카드 확률

[출제의도] 수학적 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 처음에 스티커가 붙어 있는 카드를 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, 스티커가 붙어 있지 않은 카드를 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하자. (ⅰ) 스티커가 $3$개 붙어 있는 카드가 $2$장일 경우 첫 번째 시행에서 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 모두 꺼내고, 두 번째 시행에서도 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 모두 꺼내야 하므로 그 확률은 $\displaystyle \frac{{} _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}} \times \frac{{} _{2} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$$\displaystyle = \frac{1}{100}$ (ⅱ) 스티커가 $3$개 붙어 있는 카드가 $1$장일 경우 1) 첫 번째 시행에서 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 모두 꺼내는 경우 두 번째 시행에서는 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 중에서 $1$장, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ 중에서 $1$장을 꺼내야 한다. 이 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{{} _{2} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}} \times \frac{{} _{2} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$$\displaystyle = \frac{6}{100}$ 2) 첫 번째 시행에서 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 중에서 $1$장, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ 중에서 $1$장을 꺼내는 경우 첫 번째 시행에서 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 중에서 꺼낸 카드를 $\mathrm{X}$, 꺼내지 않은 카드를 $\mathrm{Y}$라 하면 두 번째 시행에서는 $\mathrm{X}$를 반드시 꺼내고 나머지 $1$장을 $\mathrm{Y}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ 중에서 꺼내야 한다. 이 경우의 확률은 $\displaystyle \frac{{} _{2} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}} \times \frac{{} _{1} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$$\displaystyle = \frac{24}{100}$ 따라서 스티커가 $3$개 붙어 있는 카드가 $1$장일 확률은 $\displaystyle \frac{6}{100} + \frac{24}{100}$$\displaystyle = \frac{30}{100}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{100} + \frac{30}{100}$$\displaystyle = \frac{31}{100}$ $p = 100$, $q = 31$이므로 $p + q$$= 131$