스티커 붙이기 빈칸

[출제의도] 연역적 추론능력-순열과 조합 ★, ♥, ♣ (ⅰ) ★모양의 스티커 $( n - 2 )$장을 ♥, ♣가 표시된 두 종이에 남김없이 붙이는 경우의 수는 ${} _{2} H _{n - 2} = _{n - 1} C _{n - 2} = n - 1$ ♥모양의 스티커 $( n - 1 )$장을 ★, ♣가 표시된 두 종이에 남김없이 붙이는 경우의 수는 ${} _{2} H _{n - 1} = _{n} C _{n - 1} = n$ ♣모양의 스티커 $n$장을 ★, ♥가 표시된 두 종이에 남김없이 붙이는 경우의 수는 ${} _{2} H _{n} = _{n + 1} C _{n} = n + 1$ 따라서 ★모양의 스티커 $( n - 2 )$장, ♥모양의 스티커 $( n - 1 )$장, ♣모양의 스티커 $n$장을 ★, ♥, ♣가 표시된 세 종이에 남김없이 붙이는 경우의 수는 $( n - 1 ) \times n \times ( n + 1 ) = {\square {n ^{3} - n}}$ 이다. (ⅱ) ★가 표시된 종이에 한 장의 스티커도 붙어 있지 않은 경우의 수는 ★ 모양의 스티커를 ♥, ♣가 표시된 두 종이에 남김없이 붙이는 경우의 수와 같으므로 ${} _{2} H _{n - 2}$ 같은 방법으로 생각하면 세 종이 중 어느 한 종이에 한 장의 스티커도 붙어 있지 않은 경우의 수는 ${} _{2} H _{n - 2} + _{2} H _{n - 1} + _{2} H _{n}$ $= _{n - 1} C _{n - 2} + _{n} C _{n - 1} + _{n + 1} C _{n}$ $= n - 1 + n + n + 1 = 3 n$ (ⅲ) ★가 표시된 종이에 한 장의 스티커만 붙어 있는 경우의 수는 ♥, ♣ 모양의 스티커 중 하나를 ★가 표시된 종이에 붙이고 ★모양의 스티커를 ♥, ♣가 표시된 두 종이에 남김없이 붙이는 경우의 수와 같으므로 $2 \times _{2} H _{n - 2} = 2 ( n - 1 )$ 같은 방법으로 생각하면 세 종이 중 어느 한 종이에 한 장의 스티커만 붙어 있는 경우의 수는 $2 \times _{2} H _{n - 2} + 2 \times _{2} H _{n - 1} + 2 \times _{2} H _{n}$ $= 2 \times _{n - 1} C _{n - 2} + 2 \times _{n} C _{n - 1} + 2 \times _{n + 1} C _{n}$ $= 2 ( n - 1 ) + 2 n + 2 ( n + 1 )$ $= {\square {6 n}}$ 따라서 구하는 경우의 수는 $n ^{3} - n - 3 n - 6 n = {\square {n ^{3} - 10 n}}$ 이다. 이상에서 $f ( n ) = n ( n ^{2} - 1 ) , g ( n ) = 6 n$ , $h ( n ) = n ( n ^{2} - 10 )$ 이므로 $\displaystyle \frac{g ( 8 ) h ( 10 )}{f ( 5 )} = \frac{( 6 \times 8 ) \times ( 10 \times 90 )}{5 \times 24} = 360$