대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

스털링 근사 자릿수

문제

$2$ 이상 $140$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여, $1$ 부터 $n$ 까지의 자연수를 모두 곱한 값과 $\displaystyle \sqrt{2 \pi} \cdot n ^{n + \frac{1}{2}} \cdot e ^{- n}$ 의 값은 정수 부분의 자리수가 일치한다. $1$ 부터 $100$ 까지의 자연수를 모두 곱한 값의 자리수는? (단, $\pi$ 와 $e$ 는 무리수이고, $\log _{10} 2 = 0.3010$ , $\log _{10} \pi = 0.4971$ , $\log _{10} e = 0.4343$ 으로 계산한다.) [4점] ① $152$ ② $154$ ③ $156$ ④ $158$ ⑤ $160$

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④

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구하고자 하는 수는 $\displaystyle \sqrt{2 \pi} \cdot 100 ^{100 + \frac{1}{2}} \cdot e ^{- 100}$ 의 정수부분의 자리수가 같으므로 $\displaystyle \log _{10} \left( \sqrt{2 \pi} \cdot 100 ^{100 + \frac{1}{2}} \cdot e ^{- 100} \right)$ $\displaystyle = \log _{10} \sqrt{2 \pi} + \log _{10} 100 ^{100 + \frac{1}{2}} + \log _{10} e ^{- 100}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( \log _{10} 2 + \log _{10} \pi ) + 201 - 100 \log _{10} e$ $= 157.96905$ $\therefore$ $158$ 자리수

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