공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

스크린 사다리꼴

문제

그림과 같이 어느 행사장에서 바닥면이 등변사다리꼴이 되도록 무대 위에 33개의 직사각형 모양의 스크린을 설치하려고 한다.

양옆 스크린의 하단과 중앙 스크린의 하단이 만나는 지점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하고, 만나지 않는 하단의 끝 지점을 각각 C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하자. 사각형 ACDB\mathrm{ACDB}는 AC‾=BD‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BD}}인 등변사다리꼴이고 CD‾=20m\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \mathrm{20} m, ∠BAC=120∘\angle \mathrm{BAC} \mathit{=} 120 ^\circ이다. 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는 선분 AC\mathrm{AC}의 길이의 44배보다 크지 않고, 사다리꼴 ACDB\mathrm{ACDB}의 넓이는 753m2\displaystyle \mathrm{75} \sqrt{3} m ^{2} 이하이다. 중앙 스크린의 가로인 선분 AB\mathrm{AB}의 길이를 d(m)d \mathrm{(} \mathrm{m} )라 할 때, dd의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, 스크린의 두께는 무시한다.) [4점] ①2525②2626③2727④2828⑤2929

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②

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해설

점 A\mathrm{A}에서 선분 CD\mathrm{CD}에 내린 수선의 발을 E\mathrm{E}라 하자.

30∘30 ^\circ 60∘\mathrm{60} ^\circ

사각형 ACDB\mathrm{ACDB}는 등변사다리꼴이고, 중앙 스크린의 가로인 선분 AB\mathrm{AB}의 길이가 dd(d>0d > 0)이므로 CE‾=10−12d\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = 10 - \frac{1}{2} d, AE‾=3(10−12d)\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = \sqrt{3} \left( 10 - \frac{1}{2} d \right) AC‾=2(10−12d)\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 \left( 10 - \frac{1}{2} d \right) d≤4×2(10−12d)\displaystyle d \leq 4 \times 2 \left( 10 - \frac{1}{2} d \right)이므로 d≤16d \leq 16 ⋯㉠\cdots \text{㉠} 사다리꼴 ACDB\mathrm{ACDB}의 넓이가 753\displaystyle 75 \sqrt{3} 이하이므로 12×(d+20)×3(10−12d)≤753\displaystyle \frac{1}{2} \times ( d + 20 ) \times \sqrt{3} \left( 10 - \frac{1}{2} d \right) \leq 75 \sqrt{3} 즉, d≤−10d \leq - 10 또는 d≥10d \geq 10 ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠, ㉡에 의해 d≤−10d \leq - 10 또는 10≤d≤1610 \leq d \leq 16 d>0d > 0이므로 10≤d≤1610 \leq d \leq 16 따라서 dd의 최댓값과 최솟값의 합은 2626

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#실생활#연립이차부등식

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